〇進捗
予定通り読み進めている途中です。
とりあえず読み進めている段階なので進む速度は速いものの、理解できていない箇所は多々あり。一週読んだら、すぐに二週目入っていこうと思います。
〇メモ
本書の本編は三部。プラスで付録があり、Zornの補題はここで扱われている。
第一部は集合の代数、第二部は濃度、第三部は順序数。Zornの補題と同値の選択公理、整列可能定理は第三部で扱われている(現状は、第一と第二をとりあえず読み終えたあたり)。
・第一部については有限集合を中心としてその演算等々が扱われる。ここは高校数学の延長っぽい感じが続く。
・第二部からが本題で、無限集合について扱われる。無限集合については、有限集合のように元の数で比較などができないので、濃度という概念が導入されて、濃度の等しさを基本として理解していく方針になっている(はず)。
恐らく重要なのが、ℵゼロとして導入される可付番の濃度と、ℵとして導入される連続体の濃度(あと関数の濃度fがある)。基本的にはこれらℵゼロあるいはℵを基準として、この濃度と対等かどうかが問題になっているように思われる。ベルンシュタインの定理は、また今度頭の整理を兼ねてメモ。
自分は連続体の話はあまり知らないのですが、連続体の問題というのはどうやらℵゼロ<a<ℵにおいて、このような濃度aがあるのかが問題らしい。ちなみに解決不可能とのこと(そういう濃度は存在しない?)。一般連続体の問題の場合は、無限集合Aとそのべき集合の濃度の間に、他の濃度があるかという問題で、こちらも同じく解決不可能であるらしい。
集合論の教科書を読んでいて、いつもふと出てくる添字集合がいまいちピンとこない。集合の元などを数列a,a1,a2,...,anで表現する時に、そもそも数列にラベルする番号の集合にも濃度を考慮している、くらいの大雑把な理解でよいのでしょうか。読み直す際に注意してみよう。
とりえずのメモ。