【勉強メモ】赤攝也『集合論入門』その２

進捗

　一通り読み終わったものの、終盤は殆どチンプンカンプンである。

　とりあえず証明に切片が重要であるとうことは、その多用具合から何となく察した。

　原因は段階的にキチンと読まなかったからであろう。大まかを知ろうとして失敗した。

　上記をメモした後、流石に理解がまったくできていなかったので、第三編をゆっくりと読み返し中。

　第三編の本丸である順序数の手前までやってきたので、以下はここまでの振り返り。

メモ

　第三編は①順序集合→②整列集合→③順序数→④整列可能定理の順に進む(セクション番号は、本文ではローマ数字)。

　内容相互の関係としては、整列集合を含めた順序を与えられた集合一般について扱われるのが順序集合、整列集合は順序集合の内、任意の部分集合が最小限(min)を持つ集合として定義される。そのため、①で順序を持つ集合のあらましを見た後、②～④は整列集合を扱っている(と考えられる)。

　①では、順序集合について、同型、最初の元・最後の元・間にある元、順序型が定義される。順序集合についての定理は三つ証明される。とはいえ、定理１と定理２については実質同じであると考えられる。定理１では、

　⑴順序集合の恒等関数は同型対応であるということ、順序集合AとBについて、

　⑵AからBへの同型対応があればBからAへの逆関数も同型対応であること、

　⑶AからBへの同型対応とBからCへの同型対応によってAからCへの同型対応が言える

ということの三つが証明されている。定理３は、順序集合A、Bが同型対応である時、順序を保つという定理であると理解できる(つまり、最初の元・最後の元・間にある元のいずれも、同型対応φによって保たれる)。

　②では、整列集合について、切片が定義される。そして、定理が二つ証明される。とはいえ、本節は主として整列集合の性質が証明されている。とにかく数が多い。定理１は整列集合Aの部分集合Bへの同型対応φは、φ(a)=aあるいはφ(a)>aであることを成立する。これを証明した後、定理１から得られることとしてφ(a)=aまたはφ(a)<aが証明されて、φ(a)=aであることが証明される(なんでここ分けたのだろう？)。定理２は整列集合AとBについて、

　⑴AとBは同型である

　⑵AはBのある切片と同型である

　⑶BはAのある切片と同型である

ということについて証明され、さらにこれらは同時に一つしか成り立たないことが証明される。この定理２では定理１から得られる事柄が活躍しているが、読んでいた際には、定理１から得られることとしての(C)整列集合はそのいかなる部分集合のいかなる切片とも同型になりえない、を用いればそれで済んでしまうのでは？などと考えていた。これは同時に一つしか成り立たない、ということの証明には使えるが、⑴～⑶のそれぞれの集合がなされなければならないという点を完全に忘れていたため。

　ただ気になるのは、本文では(C)について証明の中で言及されていなかった点である。証明の中での切片と同型にならないという下りは、(C)とは少々異なるのだろうか？もう一度注意して読み直す必要あり。

　以上、順序数の手前までのまとめ。数学の言葉遣いが未だに身についていないため、怪しい箇所があるが今後改善。

　順序数については、整列集合の順序型として定義され、序数概念の拡張となっているという説明までは目を通した。一読目よりは、多少道が見えている気がする。